A는 매월 말에 50만원씩 5년 동안 적립하는 적금에 가입하였다. 이 적금의 명목금리는 연 3%이며, 월복리 조건이다. 이 적금의 미래가치를 계산하기 위한 식으로 옳은 것은?(단, 주어진 조건에 한함)
- ① $500,000 \times \left\{ \frac{(1+0.03)^{5}-1}{0.03} \right\}$
- ② $500,000 \times \left\{ \frac{\left(1+\frac{0.03}{12}\right)^{5\times12}-1}{\frac{0.03}{12}} \right\}$ ✔
- ③ $500,000 \times \left(1+\frac{0.03}{12}\right)^{5\times12}$
- ④ $500,000 \times \left\{ \frac{0.03}{1-(1+0.03)^{-5}} \right\}$
- ⑤ $500,000 \times \left\{ \frac{\frac{0.03}{12}}{1-\left(1+\frac{0.03}{12}\right)^{-5\times12}} \right\}$
해설 보기
〈종합〉
매월 말 적립하는 월복리 적금의 미래가치를 구하는 문제로, 연금의 미래가치계수(내가계수) 식을 월 단위로 환산해 적용할 수 있는지를 묻는다.
- 매월 말 적립이므로 '연금의 미래가치계수'를 써야 함을 먼저 확정한다
- 명목금리가 월복리이므로 이자율은 0.03/12, 기간은 5×12(=60개월)로 환산한다
- 연금내가계수 공식 {(1+r)^n-1}/r 의 r과 n에 월 단위 값을 대입한 식을 찾는다
〈정답 ②〉
매월 말 50만원씩 적립하는 적금이므로 연금의 미래가치(내가)계수를 써야 하고, 월복리 조건이니 월이자율 0.03/12과 총 납입월수 5×12를 대입해야 한다.
- 연금 미래가치 = 매기납입액 × {(1+r)^n - 1}/r 형태의 연금내가계수 사용
- 적립이 매월 말 이루어지므로 r과 n은 연 단위가 아니라 월 단위로 환산해야 함
- 명목금리 연 3% 월복리 → 월이자율 r=0.03/12, 총 기간 n=5×12(60개월)
- 이를 대입하면 500,000×{(1+0.03/12)^(5×12) - 1}/(0.03/12) 형태가 됨
〈오답선지 해설〉
- ① ✕ 연금내가계수 형태는 맞지만 연 3%를 그대로 쓰고 있어 매월 적립·월복리라는 조건을 반영하지 못한다. 지수도 5가 아니라 5×12(월수)여야 한다.
- ③ ✕ 이 식은 단일불(일시불) 미래가치계수 형태로, 한 번에 넣은 금액이 5년 후 얼마가 되는지를 구할 때 쓴다. 매월 일정액을 반복 적립하는 연금 상황과 맞지 않는다.
- ④ ✕ 이 식은 저당상수(연금의 현재가치를 매기 상환액으로 환산하는 계수) 형태다. 미래가치를 구하는 문제와는 방향이 다르고, 월복리 환산도 되어 있지 않다.
- ⑤ ✕ 월복리 환산(0.03/12, 5×12)은 맞게 했지만 분자·분모 구조가 저당상수(연금현재가치를 매기상환액으로 바꾸는 계수) 형태다. 미래가치를 구해야 하므로 연금내가계수 형태여야 한다.
〈선지교정〉
- ① ✎ 500,000×{(1+0.03/12)^(5×12)-1}/(0.03/12)
- ③ ✎ 500,000×{(1+0.03/12)^(5×12)-1}/(0.03/12)
- ④ ✎ 500,000×{(1+0.03/12)^(5×12)-1}/(0.03/12)
- ⑤ ✎ 500,000×{(1+0.03/12)^(5×12)-1}/(0.03/12)
〈함정〉
- 연금내가계수와 저당상수(연금현가를 상환액으로 바꾸는 계수)의 분자·분모 구조를 뒤바꿔 혼동하기 쉽다 — 미래가치를 묻는지 현재가치 기반 상환액을 묻는지부터 구분해야 한다
- 월복리 조건인데 연 이자율·연수를 그대로 대입하면(①,④) 명목금리와 실제 적립주기가 어긋난 식이 된다 — 반드시 r/12, n×12로 환산