1화폐의 시간가치와 자본환원계수

1화폐의 시간가치와 자본환원계수

0-1에서 「오늘 나간 돈과 나중에 들어올 돈을 같은 시점으로 맞춰서 비교한다」고 했습니다. 그 맞추는 일을 실제로 해 주는 도구가 이 절의 자본환원계수 6개입니다. 3절부터 나오는 순현재가치·수익성지수·정보의 가치가 전부 이 계수를 쓰므로, 이 절은 뒤의 모든 절의 준비에 해당합니다.

13개년 동안 이 절에서 7문항이 나왔습니다.

1-1정의와 공식 — 화폐의 시간가치

화폐의 시간가치란 같은 금액이라도 언제 오가느냐에 따라 값이 다르다는 것입니다. 제12단원 「부동산투자이론」에서 현재가치와 할인율을 배웠습니다. 그 두 식을 나란히 놓으면 이 절 전체의 뼈대가 됩니다.

미래가치 = 현재 금액 × (1 + r)ⁿ           오늘의 돈을 뒤로 보낸다
현재가치 = 미래 금액 ÷ (1 + r)ⁿ           나중의 돈을 앞으로 당긴다

  r = 이자율 또는 할인율 · n = 기간의 수

두 식은 같은 식을 곱셈과 나눗셈으로 뒤집어 놓은 것입니다. 뒤로 보낼 때 곱한 것을 앞으로 당길 때 그대로 나눕니다. 이 관계가 1-3의 역수 관계로 이어집니다.

여기서 이자 계산은 복리입니다(0-2). 그래서 (1 + r)에 지수 n이 붙습니다.

1-26개 계수 — 어느 방향으로, 무엇을 옮기는가

계수가 6개인 이유는 두 가지가 곱해지기 때문입니다. 옮기는 방향이 2가지(뒤로 보내기 · 앞으로 당기기)이고, 옮기는 대상이 3가지(목돈 하나 · 매기 흐름 · 매기 흐름을 거꾸로 구하기)입니다.

[뒤로 보낸다 — 미래가치]                  [앞으로 당긴다 — 현재가치]

일시불의 내가계수 = (1 + r)ⁿ　            일시불의 현가계수 = 1 ÷ (1 + r)ⁿ

연금의 내가계수 = {(1+r)ⁿ − 1} ÷ r　　    연금의 현가계수 = {1 − (1+r)⁻ⁿ} ÷ r

감채기금계수 = r ÷ {(1+r)ⁿ − 1}　　　     저당상수 = r ÷ {1 − (1+r)⁻ⁿ}

내가계수는 미래가치계수, 현가계수는 현재가치계수의 줄임말입니다. 기출은 두 표기를 섞어 씁니다.

아래 칸의 감채기금계수와 저당상수는 위 칸을 거꾸로 물은 것입니다. 연금의 내가계수가 「매기 1원씩 넣으면 나중에 얼마가 되는가」라면, 감채기금계수는 「나중에 1원을 만들려면 매기 얼마씩 넣어야 하는가」입니다. 연금의 현가계수가 「매기 1원씩 받으면 오늘 얼마인가」라면, 저당상수는 「오늘 1원을 빌리면 매기 얼마씩 갚아야 하는가」입니다.

그래서 각 계수가 어떤 질문에 답하는지로 외우는 것이 이름으로 외우는 것보다 정확합니다.

저당상수는 원리금균등상환 방식에만 씁니다. 저당상수가 답하는 질문이 「매기 같은 금액으로 갚으면 얼마씩인가」이기 때문입니다. 원금균등상환은 매기 갚는 원금이 같고 이자는 남은 빚에 따라 줄어드는 방식이라 매기 금액이 달라지므로 이 계수로 구할 수 없습니다. 2018-26 ③이 원금균등상환에 저당상수를 붙인 선지였습니다.

1-3역수인 3쌍

1-1에서 「뒤로 보낼 때 곱한 것을 앞으로 당길 때 그대로 나눈다」고 했습니다. 그 관계가 계수에서는 역수로 나타납니다. 6개 계수는 3쌍으로 묶입니다.

식을 보면 확인이 끝납니다. 연금의 내가계수는 {(1+r)ⁿ − 1} ÷ r 이고 감채기금계수는 r ÷ {(1+r)ⁿ − 1} 이므로, 분자와 분모가 그대로 뒤집혀 있습니다. 연금의 현가계수와 저당상수도 같습니다.

시험이 바꾸는 것은 이 3쌍의 짝입니다. 연금의 현가계수의 짝을 감채기금계수라고 적으면 틀립니다(2018-26 ②). 짝이 아닌 것끼리 붙여 놓으면 식이 뒤집힌 모양이 되지 않습니다.

1-4곱해서 잇는 관계

역수는 같은 쌍끼리 곱해 1이 되는 관계였습니다. 그런데 다른 쌍끼리 곱하면 또 다른 계수가 나옵니다. 2021-20 ③이 물은 것이 이것입니다.

연금의 현가계수 × 감채기금계수 = 일시불의 현가계수

식을 직접 곱해 보면 왜 그런지 보입니다.

{1 − (1+r)⁻ⁿ}      r                1 − (1+r)⁻ⁿ
──────────── ×  ──────────  =  ─────────────
      r          (1+r)ⁿ − 1        (1+r)ⁿ − 1

분자를 (1+r)ⁿ 로 통분하면   1 − (1+r)⁻ⁿ = {(1+r)ⁿ − 1} ÷ (1+r)ⁿ 이므로

     {(1+r)ⁿ − 1} ÷ (1+r)ⁿ              1
  = ───────────────────────  =  ────────  = 일시불의 현가계수
          (1+r)ⁿ − 1                 (1+r)ⁿ

뜻으로 읽어도 같습니다. 매기 받을 연금을 오늘 값으로 당기고(연금의 현가계수), 그 금액을 다시 매기 적립액으로 되돌리면(감채기금계수), 결국 「미래의 목돈 하나를 오늘 값으로 당긴 것」과 같아집니다.

1-5상환비율과 잔금비율

대출을 갚아 가는 도중의 어느 시점을 잡으면, 빌린 원금은 이미 갚은 부분과 아직 남은 부분으로 나뉩니다.

• 상환비율 — 빌린 원금 가운데 이미 갚은 부분의 비율
• 잔금비율 — 아직 남아 있는 부분의 비율

상환비율 + 잔금비율 = 1

둘을 더하면 원금 전체이므로 1이 됩니다. 2018-26 ①이 「합은 0이 된다」라고 적어 이 자리를 뒤집었습니다.

1-6계산으로 확인하기 — 2017-32

① 조건에서 무엇을 뽑는가 — 미래 금액 1억원 · 할인율 7% · 기간 5년.

② 일시불인가 연금인가 — 5년 후에 한 번에 받는 1억원이므로 일시불입니다.

③ 어느 방향인가 — 미래의 금액을 오늘 값으로 당기는 것이므로 현가계수입니다. 그러므로 일시불의 현가계수를 씁니다.

④ 대입한다

(1.07)⁵ = 1.4026

현재가치 = 1억원 ÷ 1.4026 = 7,129만원

십만원 자리에서 반올림하면 정답은 7,100만원입니다.

세 값 모두 선지에 없습니다. 이 문항의 선지는 6,100만원부터 8,100만원까지 500만원 간격으로 늘어놓은 것이라 특정 실수의 결과가 아닙니다. 그래서 계산한 값이 선지에 없으면 방법이 틀린 것이고, 가장 가까운 선지를 고르는 것이 아니라 처음부터 다시 세워야 합니다.

1-7계산으로 확인하기 — 2013-27

① 조건에서 무엇을 뽑는가 — 매기 적립액 3,000만원 · 이자율 10% · 기간 3년.

② 일시불인가 연금인가 — 매년 반복해서 넣으므로 연금입니다.

③ 어느 방향인가 — 3년 후의 총액을 묻고 있으므로 내가계수입니다.

④ 대입한다

연금의 내가계수 = {(1.1)³ − 1} ÷ 0.1 = (1.331 − 1) ÷ 0.1 = 3.31

미래가치 = 3,000만원 × 3.31 = 9,930만원

정답은 9,930만원입니다.

계수를 쓰지 않고 하나씩 쌓아도 같은 값이 나옵니다. 계수가 무엇을 줄여 준 것인지가 이 과정에서 보입니다.

마지막에 넣은 3,000만원에는 이자가 붙지 않습니다. 연말에 넣기 때문입니다. 그래서 연금의 내가계수는 3.31이지 3.331이 아닙니다.

단리로 계산한 9,900만원과 정답 9,930만원의 차이는 30만원뿐입니다. 이 문항의 선지가 9,600만원부터 9,950만원 사이에 촘촘히 깔려 있는 이유가 여기 있습니다. 어림으로 고를 수 없으므로 계수를 정확히 세워야 합니다.

1-8식의 모양으로 고르기 — 2020-30

값을 구하는 것이 아니라 식의 모양을 고르는 문항도 나옵니다. 2020-30은 「매월 말 50만원씩 5년, 명목금리 연 3%, 월복리」인 적금의 미래가치를 계산하는 식을 고르라고 했습니다.

① 일시불인가 연금인가 — 매월 반복해 넣으므로 연금입니다.

② 어느 방향인가 — 미래가치이므로 내가계수입니다.

③ 기간과 이자율을 무엇으로 바꾸는가 — 월복리이므로 이자율은 12로 나누고 기간은 12를 곱합니다.

월 이자율 = 0.03 ÷ 12          기간 = 5 × 12 = 60개월

④ 식을 세운다

                    (1 + 0.03/12)^(5×12) − 1
미래가치 = 500,000 × ────────────────────────
                            0.03 / 12

연금의 내가계수와 저당상수는 분모가 다릅니다. 내가계수의 분모는 이자율 하나이고, 저당상수는 분자가 이자율입니다. 식의 모양을 고르는 문항에서는 분자와 분모 중 어느 쪽에 이자율만 있는지를 먼저 봅니다.